Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→C方向以 cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（點(diǎn)M，C位于PQ異側(cè)）．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm2）

（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，PM與CD之間的數(shù)量關(guān)系是 ， 此時(shí)x的值是；
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，

∴AP=CP=4 ，所以x= =4．

故答案為4．

（2）PM= CD；
（3）

解：①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為△PEF，

∵AP= x，

∴EF=PE=x，

∴y=S△PEF= PEEF= x2．

②當(dāng)4＜x≤ 時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．

∵PQ=PC=8 ﹣ x，

∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，

∴y=S△PMQ﹣S△MEG= （8 ﹣ x）2﹣ （16﹣3x）2=﹣ x2+32x﹣64．

③當(dāng) ＜x＜8時(shí)，如圖4中，則重合部分為△PMQ，

∴y=S△PMQ= PQ2= （8 ﹣ x）2=x2﹣16x+64．

綜上所述y=

【解析（1）當(dāng)點(diǎn)M落在AB上時(shí)，四邊形AMQP是正方形，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，由此即可解決問題．（2）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M落在AD上時(shí)，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得 ，由此即可解決問題．（3）分三種情形①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖2中，設(shè)PM、PQ分別交AD于點(diǎn)E、F，則重疊部分為△PEF，②當(dāng)4＜x≤ 時(shí)，如圖3中，設(shè)PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．③當(dāng) ＜x＜8時(shí)，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計(jì)算即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．