Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m．

①求線段PQ的長(zhǎng)度n關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

②連接AP，CP，求當(dāng)△ACP面積為時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①n＝m2+m；②P（，﹣）；（3）存在，BN＝2或2或2

【解析】

（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；

（2）①AC的表達(dá)式為：y＝﹣3x﹣3，則點(diǎn)Q（m，﹣3m﹣3），n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；△ACP面積＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，即可求解；

（3）分BC是邊、BC是對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），

①將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣3x﹣3，則點(diǎn)Q（m，﹣3m﹣3），

n＝PQ＝m2﹣2m﹣3+3m+3＝m2+m；

②連接AP交y軸于點(diǎn)H，

同理可得：直線AP的表達(dá)式為：y＝（m﹣3）x+m﹣3，

則OH＝3﹣m，則CH＝m，

△ACP面積＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝，

解得：m＝（不合題意的值已舍去），

故點(diǎn)P（，﹣）；

（3）點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)B（3，0），設(shè)點(diǎn)P（m，n），n＝m2﹣2m﹣3，點(diǎn)N（1，s），

①當(dāng)BC是邊時(shí)，

點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到B，

同樣點(diǎn)M（N）向右平移3個(gè)單位向上平移3個(gè)單位得到N（M），

即1±3＝m，s±3＝n，

解得：m＝4或﹣2，s＝2或0，

故點(diǎn)N（1，2）或（1，0），則BN＝2或2；

②當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)公式得：3＝m+1，3＝s+n，

解得：s＝6，故點(diǎn)N（1，6），則BN＝2，

綜上，BN＝2或2或2．