Question

【題目】問題情境

小明和小麗共同探究一道數(shù)學(xué)題：

如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∠BAD=65°，∠DAC=50°，AD=2，

求AC．

探索發(fā)現(xiàn)

小明的思路是：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形．

小麗的思路是：過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造全等三角形．

選擇小明、小麗其中一人的方法解決問題情境中的問題．

類比應(yīng)用

如圖②，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，

AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC=67.5°，AO=2，則BC的長為___________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：探索發(fā)現(xiàn):按照兩個人的做題思路，作圖，證明全等即可.

類比應(yīng)用:參照探索發(fā)現(xiàn)的方法，進(jìn)行求解即可.

詳解：探索發(fā)現(xiàn)

小明的方法：

延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD=2，如圖．

∴AE=AD+DE=2+2=4．

∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD．

∵∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD．

∴∠AEC=∠BAD=65°．

∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．

∴∠ACE=∠AEC．

∴AC=AE=4．

∴AC的長為4．

小麗的方法：

過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，如圖．

∴∠DCE =∠ABD，∠AEC=∠BAD=65°．

∴∠ACE=180°-∠EAC-∠AEC=180°-50°-65°=65°．

∴∠ACE=∠AEC．

∴AC=AE．

∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD．

∴△ABD≌△ECD．

∴DE=AD=2．

∴AE=AD+DE=2+2=4．

∴AC=AE=4．

∴AC的長為4．

類比應(yīng)用: 過點(diǎn)D作DE∥AB，交AD于點(diǎn)E，如圖．

∴∠AED =∠DEC =∠BAC=90°，

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=180°-45°-67.5°=67.5°．

∴∠ACD=∠ADC．

∴AC=AD．

∵點(diǎn)O是邊BD的中點(diǎn)，

∴BO=OD．

∴△ABO≌△EDO．

∴AO=OE=2．

∴AE=DE=AB=4．

∴

故答案為：.