Question

已知，拋物線y=ax²+bx+c，過A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），M為頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+b經(jīng)過點C、M兩點．且與x軸交于點E．△AEC的面積與△BCM的而積是否相等？如果相等，請給出征明；如果不相等，請說明理由；
（3）點P在此拋物線的對稱軸上，設⊙P的半徑為m．①若⊙P與直線CM相切．并且與x軸有交點，求m的取值范圍；②若⊙P經(jīng)過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，求切點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)交點式或待定系數(shù)法就可以求二次函數(shù)的解析式，
（2）根據(jù)公式或配方法可以求出拋物線的頂點坐標，把頂點坐標和C點代入函數(shù)y=kx+b就可以求出k，b的值，進而得出三角形面積關系；
（3）①分別利用當點P在第四象限內(nèi)，當點P在第一象限內(nèi)利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
②利用切割線定理得出，EF=2

3

，F(xiàn)G=

6

，EG=

6

，結(jié)合①中兩種情況，進而得出答案即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c，過A（-1.0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴假設函數(shù)解析式為：y=a（x+1）（x-3），
將（0，-3）代入得：
-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（ 2）如圖所示：
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M點的坐標為：（1，-4），
∵直線y=kx+b經(jīng)過點C、M兩點，
∴

k+b=-4 b=-3

，
∴

k=-1 b=-3

，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-x-3，
當y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
S_△AEC=

1

2

AE•CO=

1

2

2×3=3，
S_△BCM=S_△BEM-S_△BEC=

1

2

×6×4-

1

2

×6×3=3，
所以成立；

（3）①設對稱軸與x軸交于點D，點P在拋物線的對稱軸直線x=1上，
先考慮與x軸相切，則點P的位置有兩種情況：
當點P在第四象限內(nèi)，過點P作PG⊥EM于G．（如圖1）
PG=PD=m．PM=4-m，
EM=4

2

，
△PGM∽△EDM，m=4（

2

-l），
當點P在第一象限內(nèi)．
過PG⊥EM于G，（如圖2），PG=PD=m，
PM=4+m，
同理△EDM∽△PGM，
m=4（

2

+1），
4（

2

-1）≤m≤4（

2

+1）；
②（如圖3）連接PF，過點F作FG⊥EB，
∵⊙P經(jīng)過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2

3

，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=

6

，EG=

6

，
OG=OE+EG=3+

6

，
連接PF，過點F作FG⊥EB，
∵⊙P經(jīng)過A、B兩點，且與直線CM相切于點F，
∴EF²=EA•EB=12，（切割線定理）
∴EF=2

3

，
∵EF²=FG²+GE²，
∴2FG²=12，
∴FG=

6

，EG=

6

，
OG=OE-EG=3-

6

，
∴F（

6

-3，

6

）或F（-3-

6

，-

6

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)與判定以及切割線定理等知識，此題綜合性較強，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想得出是解題關鍵．