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        1. (2012•道里區(qū)三模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,△ABC的邊BC在y軸的正半軸上,點A在x軸的正半軸上,點C的坐標(biāo)為(0,8),將△ABC沿直線AB折疊,點C落在x軸的負(fù)半軸D(-4,0)處.
          (1)求直線AB的解析式;
          (2)點P從點A出發(fā)以每秒4
          5
          個單位長度的速度沿射線AB方向運動,過點P作PQ⊥AB,交x軸于點Q,PR∥AC交x軸于點R,設(shè)點P運動時間為t(秒),線段QR長為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
          (3)在(2)的條件下,點N是射線AB上一點,以點N為圓心,同時經(jīng)過R、Q兩點作⊙N,⊙N交y軸于點E,F(xiàn).是否存在t,使得EF=RQ?若存在,求出t的值,并求出圓心N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
          分析:(1)由C(0,8),D(-4,0),可求得OC,OD的長,然后設(shè)OB=a,則BC=8-a,在Rt△BOD中,由勾股定理可得方程:(8-a)2=a2+42,解此方程即可求得B的坐標(biāo),然后由三角函數(shù)的求得點A的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式;
          (2)在Rt△AOB中,由勾股定理可求得AB的長,繼而求得∠BAO的正切與余弦,由PR∥AC與折疊的性質(zhì),易證得RQ=AR,則可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)首先過點分別作NT⊥RQ于T,NS⊥EF于S,易證得四邊形NTOS是正方形,然后分別從點N在第二象限與點N在第一象限去分析求解即可求得答案.
          解答:解:(1)∵C(0,8),D(-4,0),
          ∴OC=8,OD=4,
          設(shè)OB=a,則BC=8-a,
          由折疊的性質(zhì)可得:BD=BC=8-a,
          在Rt△BOD中,∠BOD=90°,DB2=OB2+OD2,
          則(8-a)2=a2+42
          解得:a=3,
          則OB=3,
          則B(0,3),
          tan∠ODB=
          OB
          OD
          =
          3
          4
          ,
          由折疊的性質(zhì)得:∠ADB=∠ACB,
          則tan∠ACB=tan∠ODB=
          3
          4
          ,
          在Rt△AOC中,∠AOC=90°,tan∠ACB=
          OA
          OC
          =
          3
          4

          則OA=6,
          則A(6,0),
          設(shè)直線AB的解析式為:y=kx+b,
          6k+b=0
          b=3
          ,
          解得:
          k=-
          1
          2
          b=3
          ,
          故直線AB的解析式為:y=-
          1
          2
          x+3;

          (2)在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=3,OA=6,
          則AB=
          OB2+OA2
          =3
          5
          ,tan∠BAO=
          OB
          OA
          =
          1
          2
          ,cos∠BAO=
          OA
          AB
          =
          2
          5
          5
          ,
          在Rt△PQA中,∠APQ=90°,AP=4
          5
          t,
          則AQ=
          AP
          cos∠BAO
          =10t,
          ∵PR∥AC,
          ∴∠APR=∠CAB,
          由折疊的性質(zhì)得:∠BAO=∠CAB,
          ∴∠BAO=∠APR,
          ∴PR=AR,
          ∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°,
          ∴∠PQA=∠QPR,
          ∴RP=RQ,
          ∴RQ=AR,
          ∴QR=
          1
          2
          AQ=5t,
          即d=5t;

          (3)過點分別作NT⊥RQ于T,NS⊥EF于S,
          ∵EF=QR,
          ∴NS=NT,
          ∴四邊形NTOS是正方形,
          則TQ=TR=
          1
          2
          QR=
          5
          2
          t,
          ∴NT=
          1
          2
          AT=
          1
          2
          (AQ-TQ)=
          1
          2
          (10t-
          5
          2
          t)=
          15
          4
          t,
          分兩種情況,
          若點N在第二象限,則設(shè)N(n,-n),
          點N在直線y=-
          1
          2
          x+3上,
          則-n=-
          1
          2
          n+3,
          解得:n=-6,
          故N(-6,6),NT=6,
          15
          4
          t=6,
          解得:t=
          8
          5
          ;
          若點N在第一象限,設(shè)N(N,N),
          可得:n=-
          1
          2
          n+3,
          解得:n=2,
          故N(2,2),NT=2,
          15
          4
          t=2,
          解得:t=
          8
          15

          故當(dāng)t=
          8
          5
          或t=
          8
          15
          時,QR=EF,N(-6,6)或(2,2).
          點評:此題考查了折疊的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.此題難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
          練習(xí)冊系列答案
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          1
          3
          ,則袋中裝有綠球的個數(shù)為(  )

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          (2012•道里區(qū)三模)在函數(shù)y=
          2
          3x-2
          中,自變量x的取值范圍是
          x≠
          2
          3
          x≠
          2
          3

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          y(x+3)2

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          (1)求證:EF=
          2
          DG;
          (2)連接BD交AP于點H,BH:HD=4:3,連接CE,若△CDE的面積為7,求DG長.

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          同步練習(xí)冊答案