Question

【題目】若拋物線(是常數(shù)，)與直線都經(jīng)過軸上的一點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)在直線上，則稱此直線與該拋物線具有“一帶一路”關(guān)系．此時，直線叫做拋物線的“帶線”，拋物線叫做直線的“路線”．

（1）若直線與拋物線具有“一帶一路”關(guān)系，求的值；

（2）若某“路線”的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，它的“帶線”的解析式為，求此“路線”的解析式；

（3）當(dāng)常數(shù)滿足時，請直接寫出拋物線：的“帶線”與軸，軸所圍成的三角形面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）p的值為-1，q的值為2；（2）y=x2+2x-1或y= x2+2x-1；（3）≤S≤．

【解析】

（1）由直線解析式可求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求出q值，根據(jù)拋物線解析式可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求出p值；

（2）根據(jù)“帶線”解析式可得出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），聯(lián)立“帶線”與反比例函數(shù)解析式可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（-1，-2），根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別設(shè)出解析式，把（0，-1）分別代入即可得答案；

（3）由拋物線解析式可得出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），根據(jù)拋物線的解析式可用k表示出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對應(yīng)的“帶線”l的解析式，找出該直線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積得出面積S關(guān)于k的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）令直線y=px+2中x=0，

∴y=2，

∴直線與y軸的交點(diǎn)為（0，2）；

∵直線與拋物線具有“一帶一路”關(guān)系，

∴y=x2-2x+q的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），

∴把（0，2）代入y=x2-2x+q得：q=2，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∵直線y=px+2經(jīng)過拋物線y=x2-2x+q的頂點(diǎn)，

∴1=P+2，

解得：p=-1．

答：p的值為-1，q的值為2．

（2）令“帶線”：中x=0得：y=-1，

∴“帶線”與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），

聯(lián)立“帶線”與反比例函數(shù)解析式得：，

解得：，，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（-1，-2），

當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）時，設(shè)“路線”的解析式為y=a(x-2)2+1，

把（0，-1）代入得：-1=4a+1，

解得：a=，

∴“路線”的解析式為y=（x-2）2+1=x2+2x-1，

當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2）時，設(shè)“路線”的解析式為y=a(x+1)2-2，

把（0，-1）代入得：-1=a-2，

解得：a=1，

∴“路線”的解析式為y=(x+1)2-2=x2+2x-1，

綜上所述：“路線”的解析式為y=x2+2x-1或y= x2+2x-1．

（3）令拋物線：中x=0得：y=k，

∴該拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，k），

∵拋物線的解析式為，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為[，]，

設(shè)“帶線”的解析式為y=mx+k，

∵點(diǎn)[，]在y=mx+k圖象上，

∴=m[]+k，

解得：m=，

∴“帶線”的解析式為y=x+k，

令“帶線”：y=x+k中y=0得：x+k=0，

解得：x=，

∴“帶線”與x軸得交點(diǎn)為（，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），

∴S=|||k|，

∵，

∴，

∴，

∴當(dāng)時，S有最大值為，

∵||＜|-4|，

∴當(dāng)時，時，取最大值，

∴時，S有最小值，

∴S的取值范圍為≤S≤．