Question

如圖，是某空軍部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在地面O、A兩個(gè)觀測點(diǎn)測得空中固定目標(biāo)C的仰角分別是α和β，OA=1千米，，位于O點(diǎn)的正上方千米D點(diǎn)處的直升飛機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行達(dá)到距地面最大3千米時(shí)，相應(yīng)水平距離為4千米．（即圖中E點(diǎn)）
（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式；
（2）按以上軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得拋物線頂點(diǎn)E（4，3），經(jīng)過D（0，），這頂點(diǎn)式，可求拋物線解析式；
（2）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的長，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)C是否滿足拋物線解析式．
解答：解：（1）∵頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3）．
∴設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-4）²+3．
將D（0，）代入得，a=-．
∴y=-（x-4）²+3
=-x²+x+．

（2）過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，tanα=．
∵tanα=，=，
∴OF=CF．
∵tanβ=，
∴=，∴AF=CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴CF-CF=1，
∴CF=，OF=CF=×=7，
∴C（7，）．
把x=7代入y=-x²+x+．
得y=．
∴點(diǎn)C在拋物線上，
∴導(dǎo)彈能擊中目標(biāo)C．
點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．