Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過A(－2, 0), C(0, 6)兩點(diǎn)的拋物線y＝－x2＋ax＋b與x軸交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求a、b的值；

（2）點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，過P作直線l//AC交拋物線于點(diǎn)Q．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，若以A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，若存在，請找出點(diǎn)M并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由。

備用圖

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=6；

（2）Q(4,6)，Q或；

（3）存在一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入到解析式中，用待定系數(shù)法則可以求出a，b的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P（t，0），由于平行四邊形頂點(diǎn)的位置不確定，所以需要分類討論，運(yùn)用平移的性質(zhì)，用含t的式子表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式中，求出t，則可以得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)B′，連接BB′，交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所要求的點(diǎn).過點(diǎn)B′作B′E⊥x軸，利用相似三角形得到B′的坐標(biāo)，以B′D為直角的斜邊構(gòu)造直角三角形，則可得到M的坐標(biāo).

試題解析：(1)根據(jù)題意得，把A（-2，0）代入得a=2.所以a=2，b=6.

（2）設(shè)P（t,0）,由（1）得，A（-2，0），C（0，6）.根據(jù)平移的性質(zhì)得：

①， ，則Q（t+2，6），代入，解得， ， （舍），所以Q（4，6）.

②， ，則Q（t-2，-6），代入，解得， ， ，所以Q（，-6）或（，-6）.

③， ，則Q（-t-2，6），代入，解得， （舍）.

綜上所述，Q(4,6)，Q（，-6）或（，-6）.

（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為B′，連結(jié)BB′交AC于F．

連結(jié)B′D，B′D與AC的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)M．

作B′E⊥x軸于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．∵AO=2，CO=6，∴AC=B(6，0)，D(2，8).

在Rt△BAF中，

在Rt△BB′E中，

.

因為點(diǎn)M在直線y＝3x＋6上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, 3x＋6)．

由，得

.

圖2 圖3