Question

已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊DC上的動點P重合（P不與點D，C重合）， MN為折痕，點M，N分別在邊BC， AD上，連接AP，MP，AM， AP與MN相交于點F，⊙O過點M，C，P。
（1）請你在圖1中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）與是否相等？請你說明理由；
（3）隨著點P的運動，若⊙O與AM相切于點M時，⊙O又與AD相切于點H，設AB為4，請你通過計算，畫出這時的圖形。（圖2，3供參考）

Answer 1

解：（1）如圖； （2）與不相等， 假設，則由相似三角形的性質，得MN∥DC， ∵∠D=90°， ∴DC⊥AD， ∴MN⊥AD， ∵據題意得，A與P關于MN對稱， ∴MN⊥AP， ∵據題意，P與D不重合， ∴這與“過一點（A）只能作一條直線與已知直線（MN）垂直”矛盾， ∴假設不成立， ∴不成立； （3）∵AM是⊙O的切線， ∴∠AMP=90°， ∴∠CMP+∠AMB=90°， ∵∠BAM+∠AMB=90°， ∴∠CMP=∠BAM， ∵MN垂直平分， ∴MA=MP， ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD， ∴MC=AB=4， 設PD=x，則CP=4-x， ∴BM=PC=4-x， 連結HO并延長交BC于J， ∵AD是⊙O的切線， ∴∠JHD=90°， ∴矩形HDCJ， ∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ∴OJ∶CP=MO∶MP=1∶2， ∴OJ=（4-x），OH=MP=4-OJ=（4+x）， ∵MC2= MP2-CP2， ∴（4+x）2-（4-x）2=16， 解得：x=1．即PD=1，PC=3， ∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7。 由此畫圖（圖形大致能示意即可）。