Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC和BC邊的中點(diǎn)A₁，B₁，則四邊形ABA₁B₁的面積為

3

4

，A₂，B₂再分別取A₁C，B₁C的中點(diǎn)，A₂C，B₂C的A₃，B₃中點(diǎn)，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

1-

1

4 n

．

Answer 1

分析：對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．

解答：解：∵A₁、B₁分別是AC、BC兩邊的中點(diǎn)，
且△ABC的面積為1，
∴△A₁B₁C的面積為1×

1

4

=

1

4

，
∴四邊形A₁ABB₁的面積=△ABC的面積-△A₁B₁C的面積=

3

4

=1-

1

4

，
∴四邊形A₂A₁B₁B₂的面積=△A₁B₁C的面積-△A₂B₂C的面積=

1

4

-

1

4 2

=

3

16

=

3

4 2

，
…，
∴第n個(gè)四邊形的面積=

1

4 n-1

-

1

4 n

=

3

4 n

，
∴

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

4 2

）+…+（

1

4 n-1

-

1

4 n

）
=1-

1

4 n

．
故故答案為：1-

1

4 n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理和相似三角形的性質(zhì)，同時(shí)也考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．