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        1. 【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點D.
          (1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點O,且a=﹣
          ①求點D的坐標及該拋物線的解析式;
          ②連結CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由;

          (2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點E(1,1),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余.若符合條件的Q點的個數(shù)是3個,請直接寫出a的值.

          【答案】
          (1)解:①過點D作DF⊥x軸于點F,如圖1,

          ∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,

          ∴∠DBF=∠BAO,

          又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,

          ∴△AOB≌△BFD(AAS)

          ∴DF=BO=1,BF=AO=2,

          ∴D的坐標是(3,1),

          根據(jù)題意,得a=﹣ ,c=0,且a×32+b×3+c=1,

          ∴b= ,

          ∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x;

          ②∵點A(0,2),B(1,0),點C為線段AB的中點,

          ∴C( ,1),

          ∵C、D兩點的縱坐標都為1,

          ∴CD∥x軸,

          ∴∠BCD=∠ABO,

          ∴∠BAO與∠BCD互余,

          要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=∠BAO,

          設P的坐標為(x,﹣ x2+ x),

          (Ⅰ)當P在x軸的上方時,過P作PG⊥x軸于點G,如圖2,

          則tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,

          = ,解得x1=0(舍去),x2= ,

          ∴﹣ x2+ x= ,

          ∴P點的坐標為( , );

          (Ⅱ)當P在x軸的下方時,過P作PG⊥x軸于點G,如圖3

          則tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,

          = ,解得x1=0(舍去),x2= ,

          ∴﹣ x2+ x=﹣ ,

          ∴P點的坐標為( ,﹣ );

          綜上,在拋物線上是否存在點P( , )或( ,﹣ ),使得∠POB與∠BCD互余.


          (2)解:如圖3,

          ∵D(3,1),E(1,1),

          拋物線y=ax2+bx+c過點E、D,代入可得 ,解得 ,

          所以y=ax2﹣4ax+3a+1.

          分兩種情況:

          ①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時,若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)不可能是3個

          ②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時,

          (i)當點Q在x軸的上方時,直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個交點,符合條件的點Q必定有2個;

          (ii)當點Q在x軸的下方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個交點,才能使符合條件的點Q共3個.

          根據(jù)(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,

          ∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此時直線OQ的解析式為y=﹣ x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個相等的實數(shù)根,所以△=(﹣4a+ 2﹣4a(3a+1)=0,即4a2﹣8a+ =0,解得a=

          ∵拋物線的頂點在x軸下方

          <0,

          ∴a>1,

          ∴a= 舍去

          綜上所述,a的值為a=


          【解析】(1)通過作過點D作垂線構造全等直角三角形,即△AOB≌△BFD,求出D坐標代入拋物線解析式即可;(2)要使∠POB與∠BCD互余,須∠POB=∠BAO,可分類討論:P在x軸的上方時或P在x軸的下方時;根據(jù)三角函數(shù)列出比例式,求出結果;(3)須分類討論,分兩種情況:當拋物線y=ax2+bx+c開口向下或當拋物線y=ax2+bx+c開口向上;數(shù)形結合,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值,進行驗證.

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