Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－8與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個交點(diǎn)為D，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(6，－8)．

(1)求拋物線的解析式，并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F，使△FOE≌△FCE.若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3＋，－4)或(3－，－4)．

【解析】試題分析：（1）把A、D坐標(biāo)代入拋物線可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式，則拋物線的對稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由D點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線OD的解析式，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）結(jié)合（1）可知OE=CE，由全等三角形的性質(zhì)可知OF=CF，可知點(diǎn)F在線段OC的垂直平分線上，則可求得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）∵拋物線y=ax2+bx-8經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），D（6，-8），

∴

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x23x8；
∵y＝x23x8＝ (x3)2 ，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
又拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=kx．
∵點(diǎn)D（6，-8）在直線L上，
∴6k=-8，解得k=- ，
∴直線L的函數(shù)表達(dá)式為y=-x，
∵點(diǎn)E為直線L和拋物線對稱軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為-×3=-4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-4）；

（2）拋物線上存在點(diǎn)F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴點(diǎn)F在OC的垂直平分線上，此時點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3-，-4）或（3+，-4）．