Question

如圖，C為線段AE上的一點，在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交與O點，AD與BC交與P點，BE與CD交與Q點，連接PQ．下列結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②AP=BQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°；⑤BP=OB．其中正確的結(jié)論有

①②③④

（請把你認(rèn)為正確的序號填在橫線上）

Answer 1

分析：根據(jù)△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，即可判斷①；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可判斷③；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），即可判斷②；求出∠BPO＞∠AOB，即可判斷⑤；利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，即可判斷④．

解答：解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴①正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
∵在△CQB和△CPA中

∠BCQ=∠ACP BC=AC ∠CBQ=∠CAP

∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP=BQ，
∴②正確；
∵△CQB≌△CPA，
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
∴③正確；
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ③正確，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴④正確，
∵∠AOB=60°，∠ABC=60°，∠BPO=∠ABC+∠BAP=60°+∠BAP，
∴∠BPO＞∠AOB，
∴BO＞BP，
∴⑤錯誤；
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，找到不變量，是解題的關(guān)鍵．