Question

如圖①，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)分別為a、b（a＜b），點(diǎn)M、N分別為邊AD、BC上兩點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），連接MN．
（1）如圖②，分別沿ME、NF將MN兩側(cè)紙片折疊，使點(diǎn)A、C分別落在MN上的A′、C′處，直接寫出ME與FN的位置關(guān)系；
（2）如圖③，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，仍按（1）中的方式折疊，請(qǐng)求出四邊形A′EBN與四邊形C′FDM的周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示），并判斷四邊形A′EBN與四邊形C′FDM周長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖④，若對(duì)角線BD與MN交于點(diǎn)O，分別沿BM、DN將MN兩側(cè)紙片折疊，折疊后，點(diǎn)A、C恰好都落在點(diǎn)O處，并且得到的四邊形BNDM是菱形，請(qǐng)你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系；
（4）在（3）情況下，當(dāng)a=

3

時(shí)，求菱形BNDM的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到∠EMN=

1

2

∠AMN，∠FNC′=

1

2

∠MNC，再由平行線的性質(zhì)可得到∠AMN=∠MNC，由平行線的判定定理即可得到ME∥FN；
（2）由折疊得知：A′E=AE，根據(jù)四邊形A′EBN是矩形，即可求出四邊形A′EBN的即四邊形C′FDM的周長(zhǎng)；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OD=CD=OB=a，在△BCD中利用勾股定理即可求出b的值；
（4）當(dāng)a=

3

時(shí)，CD=

3

，BC=3，在菱形BNDM中，DN=BN，設(shè)DN=BN=x，則CN=3-x．在△DCN中利用勾股定理即可求出DN的長(zhǎng)，利用菱形的面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）∵△A′EM是△AEM沿EM翻折而成，△NC′F是△NCF沿直線NF翻折而成，
∴△A′EM≌△AEM，△NC′F≌△NCF，
∴∠EMN=

1

2

∠AMN，∠FNC′=

1

2

∠MNC，
∵AD∥BC，
∴∠AMN=∠MNC，
∴∠EMN=∠FNC′，
∴ME∥FN；（2分）

（2）∵由折疊得知：A′E=AE，四邊形A′EBN是矩形，
∴四邊形A′EBN的周長(zhǎng)=2（A′E+EB）=2（AE+EB）=2AB=2a，（3分）
同理，四邊形C’FDM的周長(zhǎng)=2a，
∴四邊形A′EBN的周長(zhǎng)=四邊形C′FDM的周長(zhǎng)；（4分）

（3）∵△OND是由△CND折疊得到的，
∴OD=CD=a，
同理，OB=a，
∴BD=2a（6分）
在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，
BC²+CD²=BD²，
∴b²+a²=（2a）²
∴b=

3

a；（7分）

（4）當(dāng)a=

3

時(shí)，CD=

3

，BC=3，
在菱形BNDM中，DN=BN，
設(shè)DN=BN=x，則CN=3-x．在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，
NC²+CD²=ND²，（8分）
∴(3-x)2+(

3

)2=x2，
解得，x=2，
∴菱形BNDM的面積=BN•CD=2

3

．（9分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理及菱形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．