Question

某班為了從甲、乙兩同學(xué)中選出班長(zhǎng)，進(jìn)行了一次演講答辯與民主測(cè)評(píng)．A、B、C、D、E五位老師作為評(píng)委，對(duì)“演講答辯”情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，全班50位同學(xué)參與了民主測(cè)評(píng)．結(jié)果如下表所示：
表1 演講答辯得分表（單位：分）

	A	B	C	D	E
甲	90	92	94	95	88
乙	89	86	87	94	91

表2  民主測(cè)評(píng)票數(shù)統(tǒng)計(jì)表（單位：張）

	“好”票數(shù)	“較好”票數(shù)	“一般”票數(shù)
甲	40	7	3
乙	42	4	4

規(guī)定：演講答辯得分按“去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分再算平均分”的方法確定；
民主測(cè)評(píng)得分=“好”票數(shù)×2分+“較好”票數(shù)×1分+“一般”票數(shù)×0分；
綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測(cè)評(píng)得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）當(dāng)a=0.6時(shí)，甲的綜合得分是多少？
（2）a在什么范圍時(shí)，甲的綜合得分高？a在什么范圍時(shí)，乙的綜合得分高？

Answer 1

分析：（1）由題意可知：分別計(jì)算出甲的演講答辯得分以及甲的民主測(cè)評(píng)得分，再將a=0.6代入公式計(jì)算可以求得甲的綜合得分；
（2）同（1）一樣先計(jì)算出乙的演講答辯得分以及乙的民主測(cè)評(píng)得分，則乙的綜合得分=89（1-a）+88a，甲的綜合得分=92（1-a）+87a，再分別比較甲、乙的綜合得分，甲的綜合得分高時(shí)即當(dāng)甲的綜合得分＞乙的綜合得分時(shí)，可以求得a的取值范圍；同理甲的綜合得分高時(shí)即當(dāng)甲的綜合得分＜乙的綜合得分時(shí)，可以求得a的取值范圍．

解答：解：（1）甲的演講答辯得分=

90+92+94

3

=92（分），
甲的民主測(cè)評(píng)得分=40×2+7×1+3×0=87（分），
當(dāng)a=0.6時(shí)，甲的綜合得分=92×（1-0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）；
答：當(dāng)a=0.6時(shí)，甲的綜合得分是89分；

（2）∵乙的演講答辯得分=

89+87+91

3

=89（分），
乙的民主測(cè)評(píng)得分=42×2+4×1+4×0=88（分），
∴乙的綜合得分為：89（1-a）+88a，甲的綜合得分為：92（1-a）+87a，
當(dāng)92（1-a）+87a＞89（1-a）+88a時(shí)，即有a＜

3

4

，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75時(shí)，甲的綜合得分高；
當(dāng)92（1-a）+87a＜89（1-a）+88a時(shí)，即有a＞

3

4

，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8時(shí)，乙的綜合得分高．
答：當(dāng)0.5≤a＜0.75時(shí)，甲的綜合得分高，0.75＜a≤0.8時(shí)，乙的綜合得分高．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平均數(shù)的求法．同時(shí)還考查了解不等式，本題求a的范圍時(shí)要注意“0.5≤a≤0.8”這個(gè)條件．