Question

如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運(yùn)動，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，如圖2，則點(diǎn)P，Q在運(yùn)動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）設(shè)時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當(dāng)∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；
②當(dāng)∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=；
∴當(dāng)?shù)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png' />秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

（2）∠CMQ=60°不變．
在△ABQ與△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
分析：（1）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；
（2）∠CMQ=60°不變．通過證△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．