Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=10．
（1）求矩形ABCD的周長；
（2）E是CD上的點，將△ADE沿折痕AE折疊，使點D落在BC邊上點F處．
①求DE的長；
②點P是線段CB延長線上的點，連接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的長．
（3）M是AD上的動點，在DC 上存在點N，使△MDN沿折痕MN折疊，點D落在BC邊上點T處，求線段CT長度的最大值與最小值之和．

Answer 1

分析：（1）因為矩形的兩組對邊相等，所以周長等于鄰邊之和的2倍；
（2）①四邊形ABCD是矩形，由折疊對稱的特點和勾股定理即可求出ED的長；
②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三種情形分別討論求出滿足題意的PB的值即可；
（3）由題意可知當點N與C重合時，CT取最大值是8，當點M與A重合時，CT取最小值為4，進而求出線段CT長度的最大值與最小值之和．

解答：解：（1）周長=2×（10+8）=36；
（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
由折疊對稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE．
在Rt△ABF中，BF=6，
∴FC=4，
在Rt△ECF中，4²+（8-DE）²=EF²，
解得DE=5，
②分三種情形討論：
若AP=AF，
∵AB⊥PF，
∴PB=BF=6，
若PF=AF，則PB+6=10，
解得PB=4，
若AP=PF，在Rt△APB中，AP²=PB²+AB²，解得PB=

7

3

，
綜合得PB=6或4或

7

3

．
（3）當點N與C重合時，CT取最大值是8，
當點M與A重合時，CT取最小值為4，
所以線段CT長度的最大值與最小值之和為：12．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的運用以及圖形折疊的問題，題目綜合性很強，難度不小．