Question

設(shè)方程x²-mx+n=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，而以x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，則這樣的實(shí)數(shù)對（m，n）個(gè)數(shù)是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁•x₂=n，x₁+x₂=m，所以x₁²•x₂²=n=n²①，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n②，由①②聯(lián)立方程組，即可求得實(shí)數(shù)對（m，n）個(gè)數(shù)．
解答：解：∵方程x²-mx+n=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁，x₂，
∴由韋達(dá)定理，得
x₁•x₂=n，x₁+x₂=m；
又∵x₁²，x₂²為根的二次方程仍是x²-mx+n=0，
∴x₁²•x₂²=n=n²，即n²-n=0，①
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=m=m²-2n，即m²-2n-m=0，②
由①②，解得
，，或，
∴這樣的實(shí)數(shù)對（m，n）個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．