Question

如圖所示, 在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BD，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E, 交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F。

（1）求證：EO = FO。

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形，并加以證明。

（3）滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形，并加以證明。

Answer 1

證明：（1）∵M(jìn)N交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F。

∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF

又∵直線MN ∥BC，

∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO

∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF

∴EO = CO，CO = FO

∴ EO = FO               

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

證明：當(dāng)EO = FO時(shí)，O為EF的中點(diǎn)，

而當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，說明四邊形AECF是平行四邊形

由（1）可知CO =EF，而CO =AC

∴EF = AC，所以四邊形AECF是矩形。

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)且∠ACB = 90°，四邊形AECF是正方形。

證明：當(dāng)∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°

∴EC = CF，而當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形

∴四邊形AECF是正方形。