Question

如圖，函數(shù)y=ax²+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)）的圖象分別與x軸，y軸交于A，B，C三點(diǎn)，M為拋物線的頂點(diǎn)，且AC⊥BC，OA＜OB．
（1）試確定a，b，c的符號(hào)；
（2）求證：b²-4ac＞4；
（3）當(dāng)b=2時(shí)，M點(diǎn)與經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．注：y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=-

b

2a

，頂點(diǎn)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，首先可以確定的是c＞0．由于拋物線與x軸的兩交點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，如果設(shè)（x₁，0），B（x₂，0）的話，那么根據(jù)x₁x₂=

c

a

＜0，由此可確定a的符號(hào)．由于拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，因此拋物線的對(duì)稱軸方程大于0，據(jù)此可求出b的符號(hào)；
（2）根據(jù)圓周角定理，可得出∠ACB=90°，在直角三角形ACB中，根據(jù)射影定理可得出OC²=OA•OB，即c²=-x₁x₂=-

c

a

，由此可得出ac=-1，代入b²-4ac中即可得出證的條件；
（3）將b的值代入拋物線的解析式中，表示出M點(diǎn)和圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出圓的半徑，然后比較圓的半徑和M點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小關(guān)系即可．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸，
∴c＞0，x₁x₂=

c

a

＜0，a＜0，
由于拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，
因此拋物線的對(duì)稱軸方程大于0，
即-

b

2a

＞0，b＞0．
∴a＜0，b＞0，c＞0；

（2）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵AC⊥CB，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
∴Rt△AOC∽R(shí)t△COB，
∴

c

x2

=

-x1

c

，
即x₁x₂=-c²=

c

a

，
∴ac=-1，
∴b²-4ac=b²+4＞4；

（3）M點(diǎn)在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓外，
理由如下：當(dāng)b=2時(shí)，-

b

2a

=-

1

a

，

4ac-b2

4a

=

4×(-1)-22

4a

=-

2

a

，
∵AC⊥CB，
∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心為AB的中點(diǎn)D（-

1

a

，0），
半徑為DC=

OC2+OD2

=

(- 1 a )2+c2

=

1+a2c2 a2

=-

2

a

，
又∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

a

，-

2

a

），且a＜0，
∴DM=-

2

a

＞-

2

a

=DC，
∴M點(diǎn)在經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓外．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．