Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45º，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）見解析，（1）中的結(jié)論仍然成立，

即EG=CG．其他的結(jié)論還有:EG⊥CG

解析:解：（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點，

∴ CG= FD．………………1分

同理，在Rt△DEF中，   

EG= FD．   ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．

在△DAG與△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG與△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

  在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 與Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG．  ……………………………8分

證法二：延長CG至M,使MG=CG，

連接MF，ME，EC，……………………4分

在△DCG 與△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．  

∴MF∥CD∥AB．………………………5分

∴EF=BE ．

在Rt△MFE 與Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴ ∠MEF=∠CEB．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．  …………7分

∴ △MEC為直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG= MC．

∴ EG=CG． ………………………………8分

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，

即EG=CG．其他的結(jié)論還有:EG⊥CG．……11分

（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，EG=  DF，CG=  DF，所以EG=CG．

（2）連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點,利用全等求出AG=CG，通過MG=NG，求出AG=EG，從而得到結(jié)論（3）利用三角形全等求證