Question

（2010•婁底）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
求證：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB=BF即可．
解答：證明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵E是CD的中點(diǎn)（已知），
∴DE=EC（中點(diǎn)的定義）．
∵在△ADE與△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性質(zhì)）．

（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已證），
∴AB=BC+AD（等量代換）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．