Question

如圖1所示，將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；

（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能說明理由．

 

Answer 1

（1）300；（2）證明見解析；（3）能，1350或3150.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=300，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α=300.

（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=900+α，然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D.

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=1350，當(dāng)△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=3150.

（1）∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CD′=CD=2.

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=．∴∠CD′E=300.

∵CD∥EF，∴∠α=300.

（2）∵G為BC中點(diǎn)，BC=2，∴CG=1．∴CG=CE.

∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE．∴∠GCD′=∠DCE′=900+α.

在△GCD′和△∠DCE′中，

∵，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）．∴GD′=E′D.

（3）能．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD.

∵CD=CD′，∴△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形.

當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌∠DCD.

當(dāng)△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時(shí)， ；

當(dāng)△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時(shí)，.

∴旋轉(zhuǎn)角a的值為1350或3150時(shí)，△BCD′與∠DCD′全等.

考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.平行線的性質(zhì)；5.矩形的性質(zhì)；6.正方形的性質(zhì)；7.全等三角形的判定和性質(zhì)；8.等腰三角形的判定和性質(zhì)；9.分類思想的應(yīng)用.