Question

如圖，直線AB分別x，y軸正半軸相交于A（a，0）和B（0，b），直線y=

1

2

x+3交于y軸與點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F
（1）當(dāng)a=6，b=6時(shí)，求四邊形EOAF的面積
（2）若F為線段AB的中點(diǎn)，且AB=4

5

時(shí)，求證：∠BEF=∠BAO．

Answer 1

分析：（1）小題先求出直線AB的解析式，再求出與直線EF的交點(diǎn)F的坐標(biāo)（2，4），利用面積公式計(jì)算即可．（2）小題利用三角形的中位線性質(zhì)和勾股定理求出a b的值，連接AE，證出AE=BE，進(jìn)而得到EF⊥AB，利用角之間的關(guān)系即可出答案．

解答：（1）解：y=

1

2

x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴E（0，3），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（6，0），B（0，6）代入y=kx+b得：

0=6k+b 6=b

，
解得：

k=-1 b=6

∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+6
直線EFy=

1

2

x+3和直線AB交于點(diǎn)F，方程組

y= 1 2 x+3 y=-x+6

的解是

x=2 y=4

，
∴F（2，4），
S_{四邊形EOAF}=S_△OAB-S_△EFB，
=

1

2

×6×6-

1

2

×（6-3）×2，
=15．
所以四邊形EOAF的面積是15．

（2）解：∵F為線段AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得F（

1

2

a，

1

2

b），
又∵F在直線EF：y=

1

2

x+3上，
∴

1

2

×

1

2

a+3=

1

2

b，
a=2b-12 ①
又∵AB=4

5

∴a²+b²=(4

5

)2，
∴（2b-12）²+b²=80，
整理得：5b²-48b+64=0，
解得b₁=

8

5

，b₂=8，
當(dāng)b=

8

5

時(shí)，a＜0，不合題意，∴b=

8

5

（舍去），
當(dāng)b=8時(shí)，a=4
∴A（4，0）B（0，8），
∴OE=3，BE=5
連接EA，在RT△OAE中，OE=3，OA=4，
∴EA=5
∴EA=BE=5
∴△BEA是等腰三角形，
又∵F為線段AB的中點(diǎn)
∴EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-∠EBF，
∠BAO=90°-∠OBA，
∵∠EBF=∠OBA
∴∠BEF=∠BAO．

點(diǎn)評：解本題的關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式，或利用解析式求特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出線段長，再根據(jù)求出條件證明幾何問題，