Question

如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a，b（b≥2a），且點F在AD上（以下問題的結果均可用a，b的代數(shù)式表示）．
（1）求S_△DBF；
（2）把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉45°得圖②，求圖②中的S_△DBF；
（3）把正方形AEFG繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，S_△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形的關系，可得AF的長，根據(jù)三角形面積公式，可得△DBF的面積；
（2）連接AF，由題意易知AF∥BD；△DBF與△ABD同底等高，故面積相等；
（3）分析可得：當F點到BD的距離取得最大、最小值時，S_△BFD取得最大、最小值；分兩種情況討論可得其最大最小值．

解答：解：（1）∵點F在AD上，
∴AF²=a²+a²，即AF=

2

a，
∴DF=b-

2

a，
∴S_△DBF=

1

2

DF×AB=

1

2

×（b-

2

a）×b=

1

2

b²-

2

2

ab；

（2）連接DF，AF，由題意易知AF∥BD，
∴四邊形AFDB是梯形，
∴△DBF與△ABD等高同底，即BD為兩三角形的底，
由AF∥BD，得到平行線間的距離相等，即高相等，
∴S_△DBF=S_△ABD=

1

2

b²；

（3）正方形AEFG在繞A點旋轉的過程中，F(xiàn)點的軌跡是以點A為圓心，AF為半徑的圓，
第一種情況：當b＞2a時，存在最大值及最小值，
因為△BFD的邊BD=

2

b，故當F點到BD的距離取得最大、最小值時，S_△BFD取得最大、最小值．
如圖②所示DF⊥BD時，S_△BFD的最大值=S_△BFD=

1

2

2

b•（

2 b

2

+

2

a）=

b2+2ab

2

，
S_△BFD的最小值=S_△BFD=

1

2

2

b•（

2 b

2

-

2

a）=

b2-2ab

2

，
第二種情況：當b=2a時，存在最大值，不存在最小值．
∴S_△BFD的最大值=

b2+2ab

2

．（如果答案為4a²或b²也可）．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質，注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．