Question

在△ABC中，AB=AC，AC⊥BA，M為BC邊中點(diǎn)，一等腰直角三角尺的直角頂點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)，兩直角邊分別與AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)且斜邊與BC平行．
（1）在圖1中，當(dāng)三角尺的直角頂點(diǎn)P恰好移動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出ME與MF滿足的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，然后證明你的猜想；
（2）當(dāng)三角尺的直角頂點(diǎn)P沿BC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想并寫(xiě)出ME與MF滿足的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，然后證明你的猜想；
（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿BC方向繼續(xù)向右平移到圖3所示的位置（點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，三角尺兩直角邊所在直線與△ABC的兩邊BA，AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）

Answer 1

解：（1）ME=MF，ME⊥MF．
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BM=CM，∠BME=CMF
∴△BEM≌△CFM
∴ME=MF
∵∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（2）ME=MF，ME⊥MF；
證明：連接AM
∵△ABC是等腰直角三角形，M為斜邊BC的中點(diǎn)
∴AM=BC=CM，AM⊥BC，∠EAM=∠C=45°
∴∠AMC=90°
∵兩個(gè)三角形是等腰直角三角形，且斜邊平行，直角頂點(diǎn)P在斜邊BC上移動(dòng)
∴四邊形AEPF為長(zhǎng)方形
∴AE=PF=CF
∴△AEM≌△CFM
∴ME=MF，∠AME=∠CMF
∴∠EMA+∠AMF=∠FMC+∠AMF=∠AMC=90°
∴ME⊥MF

（3）ME=MF，ME⊥MF仍然成立．
分析：（1）ME=MF，ME⊥MF．根據(jù)已知條件容易證明Rt△BEM≌Rt△CFM，然后就可以得到結(jié)論；
（2）結(jié)論仍然成立．連接AM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知道∠AMC=90°，而兩個(gè)三角形是等腰直角三角形，且斜邊平行，直角頂點(diǎn)P在斜邊BC上移動(dòng)，由此得到四邊形AEPF為矩形，進(jìn)一步得到AE=PF=CF，然后就可以證明△AEM≌△CFM，利用全等三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論了；
（3）仍然成立．連接AM，和（2）一樣，證明△AEM≌△CFM，然后利用全等三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；把圖形的變換放在等腰直角三角形的背景中，充分發(fā)揮其性質(zhì)來(lái)探究圖形變換的規(guī)律．