Question

【題目】已知邊長為1的正方形ABCD中， P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），過點(diǎn)P作PE⊥PB ，PE交射線DC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)（如圖），

①求證：PB=PE；

②在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長，如果不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度不變，值為；（2）畫圖見解析，成立 ；（3）能，1.

【解析】分析：（1）①過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；②連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長即可．

（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立．

（3）可分點(diǎn)E在線段DC上和點(diǎn)E在線段DC的延長線上兩種情況討論，通過計(jì)算就可求出符合要求的AP的長．

詳解：（1）①證明：過點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．

∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，

∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°．

∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH．

在△PGB和△PHE中，

，

∴△PGB≌△PHE（ASA），

∴PB=PE．

②連接BD，如圖2．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF．

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE．

在△BOP和△PFE中，

∴△BOP≌△PFE（AAS），

∴BO=PF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∴BC=OB．

∵BC=1，∴OB=，

∴PF=．

∴點(diǎn)PP在運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長度不變，值為．

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí)，符合要求的圖形如圖3所示．

同理可得：PB=PE，PF=．

（3）①若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1．

∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．

∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．

若△PEC為等腰三角形，則EP=EC．

∴∠EPC=∠ECP=45°，

∴∠PEC=90°，與∠PEC＞90°矛盾，

∴當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，△PEC不可能是等腰三角形．

②若點(diǎn)E在線段DC的延長線上，如圖4．

若△PEC是等腰三角形，

∵∠PCE=135°，

∴CP=CE，

∴∠CPE=∠CEP=22.5°．

∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．

∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，

∴∠PBR=∠CER=22.5°，

∴∠ABP=67.5°，

∴∠ABP=∠APB．

∴AP=AB=1．

∴AP的長為1．