Question

我們把由“四舍五入”法對(duì)非負(fù)有理數(shù)x精確到個(gè)位的值記為{x}．如：{0}={0.47}=0，{0.64}={1.493}=1，{2}=2，{2.5}={3.12}=3，…．
解決下列問(wèn)題：
①若{x}=4，則x的取值范圍是______；
②若{x}=

3

2

x，則x的值是______；
③若m為正整數(shù)，試說(shuō)明：{x+m}={x}+m恒成立．

Answer 1

①∵{x}=4，
∴x的取值范圍是3.5≤x＜4.5；

②∵{x}=

3

2

x，
∴x的值是0，

2

3

；

③說(shuō)明：設(shè)x=n+a，其中n為x的整數(shù)部分（n為非負(fù)整數(shù)），a為x的小數(shù)部分 （0≤a＜1）．
分兩種情況：
（Ⅰ）當(dāng)0≤a＜

1

2

時(shí)，有{x}=n
∵x+m=（n+m）+a，
這時(shí)（n+m）為（x+m）的整數(shù)部分，a為（x+m）的小數(shù)部分，
∴{x+m}=n+m
又∵{x}+m=n+m
∴{x+m}={x}+m．
（Ⅱ）當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，有{x}=n+1
∵x+m=（n+m）+a
這時(shí)（n+m）為（x+m）的整數(shù)部分，a為（x+m）的小數(shù)部分，
∴{x+m}=n+m+1
又∵{x}+m=n+1+m=n+m+1
∴{x+m}={x}+m．
綜上所述：{x+m}={x}+m．