Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．有如下結論：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN= ；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是 ．
其中正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如圖1，連接AN，

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根據折疊的性質，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN．

∴△ABN為等邊三角形．

∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，

即結論①正確；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM= ，

即結論②不正確．

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，

∴QN= BG；

∵BG=BM= ，

∴QN= ，

即結論③不正確．

∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，

∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG為等邊三角形，

即結論④正確．

∵△BMG是等邊三角形，點N是MG的中點，

∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°= ，

根據條件易知E點和H點關于BM對稱，∴PH=PE，

∴P與Q重合時，PN+PH的值最小，此時PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH= ，

∴PN+PH的最小值是 ，

即結論⑤正確．

所以答案是：①④⑤．

【考點精析】關于本題考查的軸對稱-最短路線問題，需要了解已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．