Question

已知拋物線y=-x²-2mx-m²+2m+1的頂點坐標為（-1，3），
（1）求m的值；
（2）拋物線與直線y=2x的兩個交點分別為A、B（A在右側(cè)），點P是拋物線上AB之間的點，點Q是直線y=2x上AB之間的點，且PQ∥y軸．求PQ長的最大值；
（3）在（2）的條件下，求當△OPQ為直角三角形時Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，然后用m表示出拋物線的頂點坐標，即可求得m的值；
（2）設出點P的橫坐標，根據(jù)拋物線和直線y=2x的解析式可表示出P、Q的縱坐標，進而可得到關(guān)于PQ的長和P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ的最大值；
（3）顯然∠PQO＜90°，那么可分兩種情況考慮：
①∠OPQ=90°，此時P為拋物線與x軸的交點，根據(jù)拋物線的解析式，即可求得點P坐標，將點P的橫坐標代入直線y=2x中，即可求得點Q的坐標；
②∠POQ=90°，若設PQ與x軸的交點為D，在Rt△OPQ中，OD⊥PQ，根據(jù)射影定理得OD²=DP•DQ，由此可得到關(guān)于P點橫坐標（即Q點橫坐標）的方程，從而求得Q點橫坐標，將其代入直線y=2x中，即可求得Q點坐標．

解答：解：（1）由于拋物線y=-x²-2mx-m²+2m+1=-（x+m）²+2m+1，
即頂點坐標（-m，2m+1），
而拋物線的頂點坐標為（-1，3）；
故m=1；（2分）

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-（x+1）²+3，
即y=-x²-2x+2；
設P（x，-x²-2x+2），
因為PQ∥y軸，
所以設Q（x，2x），
所以：PQ=（-x²-2x+2）-2x=-x²-4x+2=-（x+2）²+6；（2分）
當x=-2時，PQ最大值=6；（2分）

（3）因為∠PQO不可能為直角，
所以分兩種情形討論：
①當∠QPO為直角時，P為拋物線與x軸的左側(cè)的交點；
拋物線：y=-x²-2x+2，令y=0-x²-2x+2=0，
解得：x₁=-1+

3

，x₂=-1-

3

；
所以P（-1-

3

，0）；（1分）
當x=-1-

3

時，y=2x=2（-1-

3

）=-2-2

3

，
所以Q（-1-

3

，-2-2

3

）；（2分）
②當∠POQ為直角時，設PQ與x軸交于D點；
根據(jù)題意：△OPD∽△OQD，
得：OD²=PD•QD；
即x²=（-x²-2x+2）（-2x），
解得x=

-3± 41

4

，
取x＜0，則x=

-3- 41

4

；
當x=

-3- 41

4

時，y=2x=

-3- 41

2

，
所以Q（

-3- 41

4

，

-3- 41

2

）；（2分）
所以，符合條件的Q坐標為（-1-

3

，-2-2

3

）或（

-3- 41

4

，

-3- 41

2

）．（1分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用、直角三角形的判定等知識；（3）題中，由于直角三角形的直角頂點不確定，一定要分類討論，以免漏解．