Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連接OE，并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F．
（1）問(wèn)∠BOE能否為120°，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（2）證明△AOF∽△EDF，且

DF

OF

=

DE

OA

=

1

2

；
（3）求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）用反證法證明，先設(shè)∠BOE=120°，推得與已知BC=1矛盾，則∠BOE≠120°；
（2）連接OD，則Rt△ADO∽R(shí)t△EDO，由相似比推出

DF

OF

=

DE

OA

=

1

2

；
（3）根據(jù)勾股定理求得DF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∠BOE≠120°．
連接OC，若∠BOE=120°，則OC=1，
于是BC＜1，這與已知BC=1矛盾；

（2）Rt△AOF∽R(shí)t△EDF，
連接OD，則Rt△ADO∽R(shí)t△EDO，∠DOC=90°，
又OE⊥DC，
∴OE²=DE•EC，
∵CE=BC=1，OE=

1

2

，
∴DE=

1

4

，
∴

DF

OF

=

DE

OE

=

1

2

；

（3）在Rt△AOF中，OF²=AO²+AF²，
由AO=

1

2

，AD=DE=

1

4

，DF=

1

2

OF，
得（2DF）²=（

1

2

）²+（

1

4

+DF）²，
解得DF=

5

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．