Question

已知二次函數(shù)y=ax²（a＞0）的圖象上兩點A、B的橫坐標(biāo)分別是-1、2，點O是坐標(biāo)原點，如果△AOB是直角三角形，則△OAB的周長為

 

．

Answer 1

分析：把A、B兩點橫坐標(biāo)分別代入解析式，求出縱坐標(biāo)，又因為△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各邊長，進而得出△OAB的周長．

解答：解：如圖所示：過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E，作AC⊥BE于C．
將x=-1、x=2分別代入解析式得，y_A=a，y_B=4a．
于是BC=4a-a=3a，AC=2-（-1）=3，
所以AB²=（3a）²+3²=9a²+9，
又因為在Rt△ADO中，AO²=a²+1，
在Rt△BOE中，OB²=2²+（4a）²
當(dāng)∠AOB=90°時，根據(jù)勾股定理，AB²=AO²+BO²
即9a²+9=a²+1+2²+（4a）²，解得a=

2

2

（負(fù)值不合題意舍去），
于是AO²=

1

2

+1=

3

2

，AO=

6

2

，
OB²=2²+8=12，OB=2

3

，
AB²=AO²+BO²=

3

2

+12=

27

2

，AB=

3 6

2

，
△OAB的周長為AO+OB+AB=

6

2

+2

3

+

3 6

2

=2

6

+2

3

，
當(dāng)∠OAB=90°時，AB²+AO²=BO²，即9a²+9+a²+1=2²+（4a）²，解得a=1，
于是OA=

2

，OB=2

5

，AB=3

2

，
△OAB的周長為AO+OB+AB=4

2

+2

5

；
當(dāng)∠OBA=90°時，AB²=AO²-BO²，即9a²+9=a²+1-[2²+（4a）²]，無解；
∴△OAB的周長為2

6

+2

3

或4

2

+2

5

．

點評：解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用勾股定理建立起關(guān)于參數(shù)a的關(guān)系式，再求出各邊長，將它們相加即可求出周長．