Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，10），點B的坐標(biāo)為（5，0），點P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動，點Q從B開始在線段BO上以1單位/秒的速度移動，當(dāng)其中一個點到達(dá)O時，另一點也隨即停止運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．以P、Q為圓心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．
（1）在運動的過程中若⊙P與Rt△AOB的一邊相切，求此時動點P的坐標(biāo)；
（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，求t的范圍；
（3）在運動的過程中，是否存在某一時刻⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分為兩種情況：當(dāng)⊙P與AB相切時，OP=10-4

5

，即P₁（0，10-4

5

）；當(dāng)⊙P與OB相切時，OP=4，所以P₂（0，4）；
（2）根據(jù)4≤OP＜4

5

時，⊙P與線段AB有兩個公共點，可求得

4

3

≤t＜

4 5

3

；
（3）若⊙P和⊙Q相切，則能夠形成直角三角形OPQ，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答：解：（1）當(dāng)⊙P與AB相切時，
設(shè)AP=x，則有x：5

5

=4：5，解得x=4

5

，所以O(shè)P=10-4

5

．
即P₁（0，10-4

5

）；
當(dāng)⊙P與OB相切時，OP=4，所以P₂（0，4）．

（2）當(dāng)4≤OP＜4

5

時，⊙P與線段AB有兩個公共點，即

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若兩圓外切，（10-3t）²+（5-t）²=25，
則t=2或t=5（舍去）；
若兩圓內(nèi)切，（10-3t）²+（5-t）²=9，
t=

35± 65

10

．
只取t=2，或t=

35- 65

10

．

點評：主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系．在解決此類動點問題時一定要把所有的情況考慮進(jìn)去不要漏掉某種情況．先求對應(yīng)線段的長度再根據(jù)速度求得時間，并會靈活運用勾股定理．