Question

把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H（如圖）．
（1）試問線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想．
（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形ABHG）的面積為

4 3

3

cm²，求旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AB，∠G=∠B=90°，于是Rt△AGH≌Rt△ABH，得到HG=HB；
（2）由于Rt△AGH≌Rt△ABH，則S_{四邊形ABHG}=2S_△ABH=

4 3

3

，得到S_△ABH=

2 3

3

，利用三角形的面積公式可求出BH=

2 3

3

，再錄三角函數(shù)可得到∠2=30°，得到∠GAE，最后通過互余求出旋轉(zhuǎn)角∠DAG．

解答：解：（1）線段HG與線段HB相等．理由如下：
連AH，如圖，
∵正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG，
∴AD=AG，AB=AE，
∴AG=AB，∠G=∠B=90°，
在Rt△AGH和Rt△ABH中

AH=AH AG=AB

，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB；

（2）由（1）得，S_{四邊形ABHG}=2S_△ABH=

4 3

3

（cm²），
∴S_△ABH=

2 3

3

（cm²），
∴

1

2

•AB•BH=

2 3

3

，
而AB=2cm，
∴BH=

2 3

3

cm，
∴tan∠2=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠2=30°，
∴∠GAB=60°，
∴∠DAG=90°-60°=30°，
即旋轉(zhuǎn)的角度為30°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值．