Question

如圖，已知BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F(xiàn)為垂足，EF分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)．
求證：（1）四邊形AEBF是矩形；（2）MN=

1

2

BC．

Answer 1

分析：（1）由BF、BE是角平分線可得∠EBF是90°，進(jìn)而由條件中的兩個(gè)垂直可得兩個(gè)直角，可得四邊形AEBF是矩形；
（2）由矩形的性質(zhì)可得∠2=∠5進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠5，可得MF∥BC，進(jìn)而可得△AMN∽△ABC，那么MN=

1

2

BC．

解答：證明：（1）∵BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F(xiàn)為垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四邊形AEBF為矩形；

（2）∵四邊形AEBF為矩形，
∴BM=MA=MF，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴MF∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴

AM

AB

=

MN

BC

=

1

2

（或MN為△ABC的中位線）
∴MN=

1

2

BC．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：有3個(gè)角是直角的四邊形是矩形；矩形的對(duì)角線平分且相等；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．