Question

如圖（1），拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．[圖（2）、圖（3）為解答備用圖]

（1）k=

 

，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；
（2）設(shè)拋物線y=x²-2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出k的值；令拋物線的解析式中y=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；由于四邊形ACMB不規(guī)則，可連接OM，將四邊形ACMB的面積轉(zhuǎn)化為△ACO、△MOC以及△MOB的面積和；
（3）當(dāng)D點(diǎn)位于第三象限時(shí)四邊形ABCD的最大面積顯然要小于當(dāng)D位于第四象限時(shí)四邊形ABDC的最大面積，因此本題直接考慮點(diǎn)D為與第四象限時(shí)的情況即可；設(shè)出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式即可得到其縱坐標(biāo)；可參照（2）題的方法求解，連接OD，分別表示出△ACO、△DOC以及△DOB的面積，它們的面積和即為四邊形ABDC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ABDC的面積與D點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABDC的最大面積及對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于點(diǎn)C在拋物線的圖象上，則有：k=-3；
∴y=x²-2x-3；
令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故填：k=-3，A（-1，0），B（3，0）；

（2）拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連接OM；
則△AOC的面積=

1

2

AO•OC=

1

2

×1×3=

3

2

，
△MOC的面積=

1

2

OC•|x_M|=

1

2

×3×1=

3

2

，
△MOB的面積=

1

2

OB•|y_M|=

1

2

×3×4=6；
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9；

（3）設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD；
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0；
且△AOC的面積=

3

2

，△DOC的面積=

3

2

m，△DOB的面積=-

3

2

（m²-2m-3）；
∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積
=-

3

2

m²+

9

2

m+6=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

；
∴存在點(diǎn)D（

3

2

，-

15

4

），使四邊形ABDC的面積最大，且最大值為

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．