Question

 

1.請(qǐng)閱讀材料并填空：

問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．

李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連結(jié)PP′．

根據(jù)李明同學(xué)的思路，進(jìn)一步思考后可求得∠BPC＝­＿＿＿＿°，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為＿＿＿＿．

2.請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.150°，

2.如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．  ……3分

∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝．

連結(jié)PP′，在Rt△BP′P中，∵ BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，

∴ PP′＝2，∠BP′P＝45°．  …………4分

在△AP′P中， AP′＝PC＝1，PP′＝2，AP＝，∵ 1²＋2²＝()²，即AP′ ²＋PP′ ²＝AP²．

∴ △AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°．  …………5分

∴∠AP′B＝∠AP′P＋∠BP′P＝135°．

∴ ∠BPC＝∠AP′B＝135°．  …………6分

過點(diǎn)B作BE⊥AP′交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

則∠EP′B＝45°，∴ EP′＝BE＝BP′＝1，∴AE＝2.

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝．  …………8分

∴∠BPC＝135°，正方形邊長(zhǎng)為．

【解析】略