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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2006•無錫新區(qū)模擬)下面讓我們來探究有關材料的利用率問題:工人師傅要充分利用一塊邊長為100cm的正三角形簿鐵皮材料(如圖1)來制作一個圓錐體模型(制作時接頭部分所用材料不考慮).
          (1)求這塊三角形鐵皮的面積(結果精確到0.01cm2);
          (2)假如要制作的圓錐是一個無底面的模型,且使三角形鐵皮的利用率最高,請你在圖2中畫出裁剪方案的草圖,并計算出鐵皮的利用率(精確到1%);
          (3)假如要用這塊鐵皮裁一塊完整的圓形和一塊完整的扇形,使之配套,恰好做成一個封閉圓錐模型,且使鐵皮得到充分利用,請你設計一種裁剪方案,在圖3中畫出草圖,并計算出鐵皮的利用率(精確到1%).

          【答案】分析:(1)過點A作等邊三角形的高,根據∠C=60°,求得高的長,根據三角形的面積公式求得面積.
          (2)如圖:當扇形與BC邊相切時,三角形鐵皮的利用率最高,根據扇形的面積S=求得面積.
          (3)如圖,扇形與⊙O相切于點E,⊙O與等邊三角形的兩邊也相切,使得⊙O的周長與扇形的弧相等時,便能作成一個封閉圓錐模型.也可以使扇形與⊙O相切于等邊三角形的高上,⊙O與等邊三角形的邊相切,也使得⊙O的周長與扇形的弧相等.
          解答:解:(1)過點A作AD⊥BC于點D.
          ∵△ABC是等邊三角形,
          ,(2分)
          根據勾股定理得:,(3分)
          ∴S△ABC=.(4分)

          (2)如圖:當扇形與BC邊相切時,三角形鐵皮的利用率最高.(6分)

          =
          =1250π≈3925
          ∴利用率≈%≈91%.
          (8分)


          (3)方案1:
          如圖,扇形與⊙O相切于點E,⊙O與BC相切于點E,
          則A,E,O,D在同一直線上,且AE⊥BC.(9分)
          設扇形半徑為x,⊙O半徑為y,
          則有
          (10分)


          ∴利用率≈60%.(13分)

          方案2:
          如圖,⊙O與半圓⊙D相切于點E,⊙O與AB,AC相切于點F,G,
          連接OF,則OF⊥AB,設⊙D的半徑為x,設⊙O的半徑為y,
          ∵∠BAD=30°,
          ∴AO=2y.(9分)

          πx=2πy(10分)(13分)

          (12分)
          利用率≈65%.(13分)
          方案3:
          如圖,扇形與⊙O相切于點E,⊙O與AB,BC分別相切于點F,G,
          連接A0,0F,OB,
          則AO過點E,OF⊥AB,BO平分∠ABC,
          設⊙O的半徑為y,扇形的半徑為x,
          則有OB=2y,BF=y.(9分)
          ,
          ∴x=6y,(10分)

          ∵AF+BF=100,


          (12分)
          利用率≈68%.(13分)
          點評:本題利用了等邊三角形的性質,直角三角形的性質,勾股定理,圓的面積公式,圓的周長公式,弧長公式,扇形面積公式求解.
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