Question

（2014•寶山區(qū)一模）通過(guò)銳角三角比的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的我們可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）．如圖在△ABC中，AB=AC，
頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA=

底邊

腰

=

BC

AB

．我們?nèi)菀字�道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是互相唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：
（1）sad60°=

1

；sad90°=

2

．
（2）對(duì)于0°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是

0＜sadA＜2

．
（3）試求sad36°的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答進(jìn)而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出等腰△ABC，構(gòu)造等腰三角形BCD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．

解答：解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=

1

1

=1．
根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為90°時(shí)，等腰三角形底角為45°，
則三角形為等腰直角三角形，
則sad90°=

2

1

=

2

故答案為：1，

2

．

（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為：0＜sadA＜2．

（3）如圖所示：已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，
∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，
∴

BC

BC+CD

=

CD

BC

，
解得：BC=

1+ 5

2

CD，
∴sad36°=

BC

CD

=

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出BC與CD的關(guān)系是解題關(guān)鍵．