Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4，AB=3，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，且∠APC=∠BPA=120°，按下列要求用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）；
分別以AB、PB為邊在BC邊的上方作等邊△ABD和等邊△PBE，連接DE，然后回答下列問題：
（1）AP=

DE

；（填寫圖中一條線段）
（2）∠CBD=

90

°
（3）PA+PB+PC=

5

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=BD，BP=BE，∠ABD=∠PBE=60°，推出∠DBE=∠PBA，求出△ABP≌△DBE即可．
（2）根據(jù)∠ABC和∠ABD的度數(shù)求出即可．
（3）求出C、P、E、D四點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：
（1）AP=DE，
理由是：∵△ABD和△BPE是等邊三角形，
∴AB=BD，BP=BE，∠ABD=∠PBE=60°，
∴∠DBE=∠PBA=50°-∠ABE，
在△ABP和△DBE中

AB=BD ∠ABP=∠DBE BP=BE

∴△ABP≌△DBE，
∵AP=DE，
故答案為：DE．

（2）∠CBD=90°，
理由是：∵△BAD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=30°+60°=90°，
故答案為：90．

（3）PA+PB+PC=5，

理由是：∵△BPE是等邊三角形，
∴∠EPB=60°，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=180°，
即C、P、E三點(diǎn)共線，
∵△ABP≌△DBE，
∴∠APB=∠DEB=120°，
∵∠PEB=60°，
∴D、E、P三點(diǎn)共線，
即C、P、E、D四點(diǎn)共線，
在Rt△CBD中，∠CBD=90°，BC=4，BD=3，由勾股定理得：CD=5，
∵CD=CP+PE+DE=CP+BP+AP，
∴PA+PB+PC=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．