Question

（2012•重慶模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．
（1）試求△ABC的面積；
（2）當(dāng)邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設(shè)AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（4）當(dāng)△BDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積．
（2）根據(jù)DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比即可求出邊DE的長度．
（3）可以分為正方形在三角形內(nèi)部和不全在內(nèi)部兩種情況求解，全在內(nèi)部時，利用三角形相似得=，求出DE，再求重疊部分正方形的面積，不全在內(nèi)部時先求出長DE，再利用DG∥AH，求出寬．
（4）當(dāng)△BDG是等腰三角形時，分BD=DG，BD=BG，DG=BG三種情況寫出AD的長．
解答：解：（1）過A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∴AH===4，
∴S_△ABC=BC•AH=×6×4=12．

（2）令此時正方形的邊長為a，
∵DE∥BC，
∴，
∴a=．

（3）當(dāng)DE=時，由△ADE∽△ABC得=，解得AD=2，
當(dāng)0＜x≤2時，正方形全部在三角形內(nèi)部，由=得：=，DE=x，
y=（x）²=x²，
當(dāng)2＜x＜5時，y=•（5-x）=x-x²．

（4）當(dāng)△BDG是等腰三角形時，設(shè)AD=x，當(dāng)BD=DG，
此時正方形不全部在三角形內(nèi)部，
∵BD=5-x，
由（3）可知DG=DE=x，
由此即可求出AD=；
當(dāng)DB=BG時，求出AD=；
當(dāng)DG=BG，求出AD=；
故．
點(diǎn)評：本題考查了正方形、等腰三角形的性質(zhì)，相似比等相關(guān)知識，解題時，注意形數(shù)結(jié)合，分類討論．