Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．
②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)腰長．

解答：解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC-BP，BC=8cm，
∴PC=8-3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，

PC=BD ∠B=∠C BP=CQ

∴△BPD≌△CQP．（SAS）
②∵v_P≠v_Q，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

BP

3

=

4

3

s，
∴vQ=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

cm/s；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得

15

4

x=3x+2×10，
解得x=

80

3

．
∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了

80

3

×3=80cm．
△ABC周長為：10+10+8=28cm，
若是運(yùn)動(dòng)了三圈即為：28×3=84cm，
∵84-80=4cm＜AB的長度，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過

80

3

s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．

點(diǎn)評(píng)：此題主要是運(yùn)用了路程=速度×?xí)r間的公式．熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系．