Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（3，1），二次函數y=x²的圖象記為拋物線b₁．
（1）平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經過點A，但不經過點B．寫出平移后的一個拋物線的函數關系式：

 

 （任寫一個即可）；
（2）平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經過A，B兩點，記為拋物線b₂，如圖2．求拋物線b₂的函數關系式；
（3）設拋物線b₂的頂點為C，k為y軸上一點．若S_△ABK=S_△ABC，如圖3，求點K的坐標．

Answer 1

分析：（1）可將拋物線b₁向上平移，設平移后的拋物線的函數關系式：y=x²+b，由點A的坐標為（1，2），利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
（2）根據題意可設拋物線b₂的函數關系式為y=x²+bx+c，由點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（3，1），利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
（3）首先根據題意求得點C的坐標，即可求得△ABC的面積，然后分別從點K在A的上方與下方去分析求解，即可求得點K的坐標．

解答：解：（1）向上平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經過點A，
設平移后的拋物線的函數關系式：y=x²+b，
∵點A的坐標為（1，2），
∴2=1+b，
解得：b=1，
∴平移后的拋物線的函數關系式：y=x²+1；
∵點B的坐標為（3，1），
∴3²+1≠1，
∴平移后的拋物線的函數關系式：y=x²+1；
故答案為：y=x²+1．

（2）設∵拋物線b₂經過A，B兩點，
∴

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得：

b=- 9 2 c= 11 2

，
∴拋物線b₂的函數關系式為：y=x²-

9

2

x+

11

2

；

（3）∵y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
∴點C的坐標為（

9

4

，

7

16

），
過點C作CG⊥y軸，BF⊥y軸，AE⊥y軸，
∴AE=1，BF=3，CG=

9

4

，EF=2-1=1，FG=1-

7

16

=

9

16

，EG=2-

7

16

=

25

16

，
∴S_△ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCGF-S_梯形ACGE=

1

2

（AE+BF）•EF+

1

2

（CG+BF）•GF-

1

2

（AE+CG）•EG=

15

16

，
若K在A點上方，坐標為（0，y）
S_△ABK=S_△BNK-S_△AMK-S_梯形ABNM=

1

2

BN•NK-

1

2

AM•MK-

1

2

（AM+BN）•MN=

1

2

×3×（y-1）-

1

2

×1×（y-2）-

1

2

×（1+3）×1=

2y-5

2

，
∵S_△ABK=S_△ABC，
∴

2y-5

2

=

15

16

，
解得：y=

55

16

，
則點K（0，

55

16

）；
同理：若K在A的下方時，則點K（0，

25

16

）；
∴點K的坐標為（0，

55

16

）或（0，

25

16

）．

點評：此題考查了二次函數的平移，待定系數法求二次函數的解析式，以及三角形面積的求解方法．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用．