Question

（2013•廣州）已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接CD，且CD=OA．
（1）當(dāng)OC=2

2

時(shí)（如圖），求證：CD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OC＞2

2

時(shí)，CD所在直線于⊙O相交，設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE．
①當(dāng)D為CE中點(diǎn)時(shí)，求△ACE的周長(zhǎng)；
②連接OD，是否存在四邊形AODE為梯形？若存在，請(qǐng)說明梯形個(gè)數(shù)并求此時(shí)AE•ED的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD為直角三角形，如答圖①所示；
（2）①如答圖②所示，關(guān)鍵是判定△EOC是含30度角的直角三角形，從而解直角三角形求出△ACE的周長(zhǎng)；
②符合題意的梯形有2個(gè)，答圖③展示了其中一種情形．在求AE•ED值的時(shí)候，巧妙地利用了相似三角形，簡(jiǎn)單得出了結(jié)論，避免了復(fù)雜的運(yùn)算．

解答：（1）證明：連接OD，如答圖①所示．
由題意可知，CD=OD=OA=

1

2

AB=2，OC=2

2

，
∴OD²+CD²=OC²
由勾股定理的逆定理可知，△OCD為直角三角形，則OD⊥CD，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：①如答圖②所示，連接OE，OD，則有CD=DE=OD=OE，
∴△ODE為等邊三角形，∠1=∠2=∠3=60°；
∵OD=CD，∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，
∴∠EOC=∠2+∠4=90°，
因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．
在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=2

3

，
在等腰直角三角形AOE中，AE=

2

OA=2

2

，
∴△ACE的周長(zhǎng)為：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=2

2

+4+（2+2

3

）=6+2

2

+2

3

．
②存在，這樣的梯形有2個(gè)．
答圖③是D點(diǎn)位于AB上方的情形，同理在AB下方還有一個(gè)梯形，它們關(guān)于直線AB成軸對(duì)稱．
∵OA=OE，∴∠1=∠2，
∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5，
∵四邊形AODE為梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∴∠3=∠5=∠1，
在△ODE與△COE中，

∠OEC=∠OEC ∠3=∠5

∴△ODE∽△COE，
則有

OE

CE

=

DE

OE

，∴CE•DE=OE²=2²=4．
∵∠1=∠5，∴AE=CE，
∴AE•DE=CE•DE=4．
綜上所述，存在四邊形AODE為梯形，這樣的梯形有2個(gè)，此時(shí)AE•DE=4．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了圓、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、梯形等幾何圖形的性質(zhì)，涉及切線的判定、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度較大．