Question

如圖，已知：拋物線y=ax²+bx-4（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（-6，0）、B（2，0）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達式；
（2）已知在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PB+PC的值最小，請求出點P的坐標(biāo)；
（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作DE∥PC交x軸于點E．連接PD、PE．設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可得到方程組求得a，b的值，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）求出C關(guān)于對稱軸的對稱點C′坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC′的解析式，與對稱軸的交點就是P；
（3）求得DE的解析式，進而得到PF、OE的長度，根據(jù)S=PF•OE即可求得函數(shù)的解析式．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：，
解得：，
則拋物線的函數(shù)表達式是：y=x²+x-4；

（2）在：y=x²+x-4，中令x=0，解得y=-4，則C的坐標(biāo)是（0，-4）．
二次函數(shù)的解析式是：x=-=-2，
C關(guān)于x=-2的對稱點C′的坐標(biāo)是（-4，-4）．
設(shè)直線BC′的解析式是y=kx+b，
則，
解得：，
在直線的解析式是：y=x-，令x=-2，解得y=-，
則P的坐標(biāo)是：（-2，-）；

（3）設(shè)D的坐標(biāo)是（0，c），
設(shè)直線PC的解析式是y=ex+f，則
，
解得：，
則直線的解析式是：y=-x-4，
因為CD=m，則D的坐標(biāo)是（m-4，0），則直線DE的解析式是：y=-x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m-，故F的坐標(biāo)是（-2，m-），則PF=m，
令y=0，解得：x=m-6．即OE=6-m．
E的面積為S=PF•OE=m（6-m），
即S=-m²+3m（0＜m＜4）．
當(dāng)x==2時，有最大值是：3．
點評：本題考查了對稱點的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，直線平行的條件的綜合應(yīng)用，求得DE的解析式是關(guān)鍵．