Question

【題目】已知拋物線與軸交于點和點，與直線交于點和點，為拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的解析式及點的坐標(biāo)．

（2）點為直線上方拋物線上一點，設(shè)為點到直線的距離，當(dāng)有最大值時，求點的坐標(biāo)．

（3）若點為直線上一點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，，當(dāng)是直角三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），點的坐標(biāo)為；（2）點的坐標(biāo)為；（3）點的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先由直線解析式求出B點坐標(biāo)，再把A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式中，求出a,c的值，從而求出拋物線解析式，再把拋物線解析式化成頂點式，求出頂點坐標(biāo)即可；

（2）過點作軸，交于點，連接，，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，寫出△PCB面積的表達(dá)式，求出△PCB面積最大值所對應(yīng)的m，從而求出P點坐標(biāo)；

（3）由題意，知，．設(shè)點的坐標(biāo)為，分別求出，，，在分類討論①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，求出t，即可求出F的坐標(biāo).

解：（1）∵直線，

令y=0，解得x=3，

∴，

將點，代入拋物線中，

得，解得

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴點的坐標(biāo)為；

（2）過點作軸，交于點，連接，，如解圖所示，

由題意，可知有最大值時，有最大值，

設(shè)點的坐標(biāo)為，則，

∴，

∴，

∵，，

∴當(dāng)時，有最大值，且最大值為，此時有最大值，

∴點的坐標(biāo)為；

（3）由題意，知，．設(shè)點的坐標(biāo)為，

則，，，

由題，易知，則當(dāng)是直角三角形時，需分以下兩種情況進行討論，

①當(dāng)時，，

即，解得，

∴點的坐標(biāo)為；

②當(dāng)時，，

即，解得（與點重合，故舍去）或，

∴點的坐標(biāo)為，

綜上所述，點的坐標(biāo)為或．