Question

a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，現(xiàn)已知，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并寫出a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值．
（3）計(jì)算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．

Answer 1

解：（1）a₁=，
a₂==2，
a₃==-1，
a₄==；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=-1××2=-1；

（3）∵a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=×2×（-1）=-1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．=（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰••2=-1．
分析：（1）根據(jù)差倒數(shù)的定義可計(jì)算出a₂==2，a₃==-1，a₄==；
（2）根據(jù)（1）計(jì)算結(jié)果得到從a₁開始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，而2010=3×670，則a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=，a₂₀₁₂=a₂=2，然后計(jì)算a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-1，把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂，然后代值計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．