Question

a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是

1

1-2

=-1，現(xiàn)已知a1=

1

2

，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并寫(xiě)出a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值．
（3）計(jì)算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)差倒數(shù)的定義可計(jì)算出a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）根據(jù)（1）計(jì)算結(jié)果得到從a₁開(kāi)始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，而2010=3×670，則a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，然后計(jì)算a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-1，把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂，然后代值計(jì)算即可．

解答：解：（1）a₁=

1

2

，
a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=-1×

1

2

×2=-1；

（3）∵a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．=（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰•

1

2

•2=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．