Question

（2012•義烏市）如圖，已知點A（0，2）、B（2

3

，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊△APQ，連接PB、BA．若四邊形ABPQ為梯形，則：
（1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是

2

3

3

；
（2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是

0或2

3

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，（1）當AB為梯形的底時，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等邊三角形，CP∥x軸，即可求得答案；
（2）當AB為梯形的腰時，AQ∥BP，易得四邊形ABPC是平行四邊形，即可求得CP的長，繼而可求得點P的橫坐標．

解答：解：（1）如圖1：當AB為梯形的底時，PQ∥AB，
∴Q在CP上，
∵△APQ是等邊三角形，CP∥x軸，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是：

2 3

3

；

（2）如圖2，當AB為梯形的腰時，AQ∥BP，
∴Q在y軸上，
∴BP∥y軸，
∵CP∥x軸，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，
∴CP=AB=2

3

，
如圖3，當C與P重合時，
∵A（0，2）、B（2

3

，2），
∴tan∠APB=

2 3

2

=

3

，
∴∠APQ=60°，
∵△APQ是等邊三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴當C與P重合時，四邊形ABPQ以AB為腰的梯形，
此時點P的橫坐標為0；
∴當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是：0或2

3

．
故答案為：（1）

2 3

3

，（2）0或2

3

．

點評：此題考查了梯形的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出符合要求的圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解．