Question

【題目】如圖，AC是⊙O的弦，AC＝6，點(diǎn)B是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC＝60°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

作直徑AD，如圖，先判斷NM為△CAB的中位線(xiàn)得到MN＝AB，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝4，由于AB＝AD時(shí)，AB的值最大，從而得到MN的最大值．

解：作直徑AD，如圖，

∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

∴NM為△CAB的中位線(xiàn)，

∴MN＝AB，

∵AD為直徑，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ADC＝∠ABC＝60°

∴CD＝AC＝2，

AD＝2CD＝4，

當(dāng)AB＝AD時(shí)，AB的值最大，

∴AB最大值為4，MN的最大值為2．

故答案為：2．